普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷

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普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷

（满分150分，考试时间120分钟）

考生注意

1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.

2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）

已知集合，则________.

已知且满足，求________.

已知向量，，则与的夹角为________.

已知二项式，则展开式中含项的系数为________.

已知x、y满足，求的最小值为________.

已知函数周期为，且当，，则________.

若，且，则的最大值为________.

已知数列前n项和为，且满足，则______.

过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，，则______.

某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.

已知数列满足（），在双曲线上，则_______.

已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点（异于）使得且，则__________.

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

已知直线方程的一个方向向量可以是（ ）

B. C. D.

一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）

1 B. 2 C. 4 D. 8

已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ）

B. C. D.

已知.

①存在在第一象限，角在第三象限；

②存在在第二象限，角在第四象限；

①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对；

三.解答题（本大题共5题，共76分）

（本题满分14分）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.

（1）求直线与平面的夹角；

（2）求点到平面的距离.

18.（本题满分14分）已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，有零点，求的范围.

19.（本题满分14分）如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，，，.

（1）求长度；

（2）若，求到海岸线的最短距离.（精确到）

20.（本题满分16分）

已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点.

（1）若AB垂直于轴时，求；

（2）当时，在轴上方时，求的坐标；

（3）若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

21.（本题满分18分）

数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.

（1）若，求可能的值；

（2）若不为等差数列，求证：中存在满足性质；

（3）若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.

一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）

1.已知集合，则________.

【思路分析】然后根据交集定义得结果．

【解析】：根据交集概念，得出：.

【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

2.已知且满足，求________.

【思路分析】解复数方程即可求解结果．

【解析】：，.

【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．

3.已知向量，，则与的夹角为________.

【思路分析】根据夹角运算公式求解．

【解析】：.

【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．

4.已知二项式，则展开式中含项的系数为________.

【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含项的的项，再求系数．

【解析】：

令，则，系数为.

【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．

5.已知x、y满足，求的最小值为________.

【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当，时，

.

【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

6.已知函数周期为，且当，，则________.

【思路分析】直接利用函数周期为1，将转到已知范围内，代入函数解析式即可．

【解析】：.

【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．

7.若，且，则的最大值为________.

【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有的式子求解

【解析】：法一：，∴；

法二：由，（），求二次最值.

【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．

8.已知数列前n项和为，且满足，则______.

【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列.

【解析】：由得：（）

∴ 为等比数列，且，，∴ .

9.过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，，则______.

【思路分析】根据等式建立坐标方程求解

【解析】：依题意求得：，，设M坐标

有：，代入有：

即：.

【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

10某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.

【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.

【解析】：法一：（分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字）

法二：（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）

【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．

11.已知数列满足（），在双曲线上，则_______.

【思路分析】利用点在曲线上得到关于n的表达式，再求极限.

【解析】：法一：由得：，∴，

，利用两点间距离公式求解极限。

法二（极限法）：当时，与渐近线平行，在x轴投影为1，渐近线倾斜角满足：，所以.

【归纳与总结】本题考查数列极限的求解，是中档题．

12.已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点（异于）使得且，则__________.

【思路分析】

【解析】：

【归纳与总结】

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.已知直线方程的一个方向向量可以是（ ）

B. C. D.

【思路分析】根据直线的斜率求解.

【解析】：依题意：为直线的一个法向量，∴ 方向向量为，选D.

【归纳与总结】本题考查直线方向向量的概念，是基础题．

14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）

1 B. 2 C. 4 D. 8

【思路分析】根据直线的斜率求解.

【解析】：依题意：，，选B.

今天小编为大家整理了有关于普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷，希望可以对大家有帮助。

普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷

（满分150分，考试时间120分钟）

考生注意

1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.

2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.

4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）

已知集合，则________.

已知且满足，求________.

已知向量，，则与的夹角为________.

已知二项式，则展开式中含项的系数为________.

已知x、y满足，求的最小值为________.

已知函数周期为，且当，，则________.

若，且，则的最大值为________.

已知数列前n项和为，且满足，则______.

过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，在上方，为抛物线上一点，，则______.

某三位数密码锁，每位数字在数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.

已知数列满足（），在双曲线上，则_______.

已知，若，与轴交点为，为曲线，在上任意一点，总存在一点（异于）使得且，则__________.

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

已知直线方程的一个方向向量可以是（ ）

B. C. D.

一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）

1 B. 2 C. 4 D. 8

已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ）

B. C. D.

已知.

①存在在第一象限，角在第三象限；

②存在在第二象限，角在第四象限；

①②均正确； B. ①②均错误； C. ①对，②错； D. ①错，②对；

三.解答题（本大题共5题，共76分）

（本题满分14分）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.

（1）求直线与平面的夹角；

（2）求点到平面的距离.

18.（本题满分14分）已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，有零点，求的范围.